2次方程式の解の公式
2次方程式の解の公式
2次方程式の解の公式
2次方程式 $ ax^2+bx+c=0 $ の解は、 $ b^2-4ac\geqq0 $ のとき
\begin{equation*}
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{equation*}
証明
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の左辺は、平方完成すると
$$ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$$
となる。したがって、2次方程式は次のように書ける。
$$a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a}$$
ゆえに $\displaystyle\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
$b^2-4ac\geqq0$ のとき、この右辺は正または $0$ であるから
$$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$$
この式の右辺は、 $a$ の正負にかかわらず $\displaystyle\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ となるから
$$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
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例題
$2x^2-13x+15=0$ の解を求めよ
\begin{eqnarray}
x &=& \frac{-(-13)\pm\sqrt{(-13)^2-4\cdot 2\cdot 15}}{2\cdot 2} \\
&=& \frac{13\pm\sqrt{169-120}}{4} \\
&=& \frac{13\pm\sqrt{49}}{4} \\
&=& \frac{13\pm 7}{4} \\
\end{eqnarray}
よって、 \(x=\frac{3}{2},5\)