不定方程式の解き方

方程式 $2x+3y-5z=1 \cdots$① について、次の各問いに答えよ。ただし、問１、問３は答えのみ解答用紙に記入せよ。

方程式①に $z=0$ を代入すると、 $2x+3y=1$ となる。

$x=-1,y=1$

$z=2$ のとき、 $2x+3y=11\cdots$②

また問１より、 $2\cdot(-1)+3\cdot1=1$ となるので、両辺に$11$をかけて $2 \cdot (-11)+3 \cdot 11 = 11\cdots$③

②と③を辺々引いて、 $2(x+11)+3(y-11) = 0$

よって、 $2(x+11)=-3(y-11)$

$2$と$3$は互いに素であるから、 $x+11$ は $3$ の倍数である。

したがって、整数 $k$ を用いて $x+11=3k$ と表せる。

このとき、 $y-11=-2k$

以上より、 $x=3k-11,y=-2k+11$ （$k$ は任意の整数）

方程式①は変形すると $2x+3y=5z+1$ なので、

整数 $z=l$ として問２の $11$ を $5z+1$ に置換すると、

$x=3k-(5l+1),y=-2k+(5l+1)$

$x=3k-5l-1,y=-2k+5l+1,z=l$ （$k,l$ は任意の整数）

参考