約数の個数と総和

約数の個数の公式

自然数 $n$ が $n = p^{a} q^{b} \dots$ に素因数分解されるとき、 $n$ の約数の個数は $(a + 1) (b + 1)$

$12$ の約数の個数を求めよ。

素因数分解すると $12 = 2^{2} \cdot 3$ なので、 $(2 + 1) (1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6$ $12$ の約数の個数は $6$ 個

約数の総和の公式

自然数 $n$ が $n = p^{a} q^{b} \dots$ に素因数分解されるとき、 $n$ の約数の総和は $(1 + p + p^{2} + \dots + p^{a}) (1 + q + q^{2} + \dots + q^{b})$

補足： $(p^{0} + p^{1} + p^{2} + \dots + p^{a}) (q^{0} + q^{1} + q^{2} + \dots + q^{b})$ と考えると覚えやすい。

素因数分解すると $12 = 2^{2} \cdot 3$ なので、 $(1 + 2 + 2^{2}) (1 + 3) = 7 \cdot 4 = 28$ $12$ の約数の総和は $28$